Mata Kuliah Dasar-dasar Matematika Materi Eksponen

EKSPONEN

A.  Pengertian Eksponen (Pangkat)

Eksponen adalah bilangan berpangkat, ada juga yang menyebut eksponen adalah perkalian berulang. Menurut wikipedia eksponen adalah sebuah operasi matematika yang melibatkan dua bilangan, basis atau bilangan pokok b dan eksponen atau pangkat n, ditulis bⁿ.

Pendapat lain menyatakan bahwa eksponen adalah perkalian dengan bilangan yang sama yang diulang-ulang. Eksponen sering kita kenal dengan sebutan pangkat, definisi lainnya adalah nilai yang menunjukkan derajat kepangkatan (bilangan dikalikan dengan bilangan itu juga)

B.  Macan-macam Eksponen (Pangkat)

1.    Pangkat Bilangan Bulat Positif

Pengertian pangkat bulat positif yaitu jika a adalah bilangan riil dan n bilangan bulat positif maka an (dibaca "a pangkat n") adalah hasil kali n buah faktor yang masing-masing faktornya adalah a. Jadi, pangkat bulat positif secara umum dinyatakan dalam bentuk

aⁿ =  a  a  a  ... a

dengan:

 a       = bilangan pokok (basis);

 n       = pangkat atau eksponen;

 aⁿ      = bilangan berpangkat.

2.    Pangkat Bilangan Bulat Negatif

Untuk a ∈ R dan a ≠ 0 didefinisikan:

a^-n=1/aⁿ

Definisi ini berasal dari bentuk berikut:

a^m : a^m+n  = a^m-(m+n) = a^-n

a^m : a^m+n  = a^m/ a^m+n  = 1/aⁿ

maka, a-ⁿ = 1/aⁿ

3.  Pangkat Nol

Untuk a ∈ R dan a ≠ 0 maka

a⁰=1

Bukti:

a⁰ = a^n-n

=

= 1

4.    Pangkat tak sebenarnya

Bilangan berpangkat dengan pangkat nol, bulat negatif, dan pecahan disebut juga sebagai bilangan berpangkat tak sebenarnya. Adapun bilangan berpangkat dengan pangkat bulat positif disebut juga bilangan berpangkat sebenarnya. Untuk sebarang nilai a dengan a ≠ 0, m bilangan bulat, n bilangan asli, dan n ≥ 2 berlaku:

 dan  disebut pangkat tak sebenarnya

C.  Sifat-sifat Eksponen

1.      Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat

am an = am+n

Untuk a ∈ R dan m, n bilangan bulat positif, berlaku

Bukti:

a^m . aⁿ = a.a.a.a. ... .a.a.a.a

= a^m+n

2.      Sifat Pangkat dari Bilangan Berpangkat

Untuk a, b ∈ R dan n bilangan bulat positif, berlaku:

(am)n = amn

 

(a^m)ⁿ = a^m . a^m . a^m

= (a.a. ... .a)(a.a. ... .a)(a.a. ... .a)

= a^m.n

3.      Sifat Pangkat dari Perkalian Berpangkat

Untuk a, b ∈ R dan n bilangan bulat positif, berlaku:

(ab)n = anbn

 

Bukti:

(ab)ⁿ = ab.ab.ab. ... .ab

= (a.a.a. ... .a)(b.b.b. ... .b)

= aⁿbⁿ

4. Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat

Untuk a ∈ R, a ≠ 0 dan m, n bilangan bulat positif yang memenuhi m > nⁿ

= am-n

 

            Bukti:

             =

= a.a

= a^m-n

5.    Sifat pangkat dari pembagian bilangan

Untuk a, b ∈ R, b ≠ 0 dan n bilangan bulat positif, berlaku:

( )n =

 

( ) ⁿ = . . . ... .

=

=

6.    Sifat eksponen pangkat 1

a1=a

 

7.    Sifat eksponen pangkat 0

Untuk a ∈ R, a ≠ 0

a0=1

 

Bukti:

a⁰ = a^n-n

=

= 1

8.    Sifat eksponen pangkat negatif

a-n =

 

Bukti:

a^m : a^m+n  = a^m-(m+n) = a^-n

a^m : a^m+n  = =

maka, a-ⁿ =

9.    Pangkat tak sebenarnya

 

D.  Persamaan Eksponen

Persamaan Eksponen dapat diartikan sebagai persamaan yang didalamnya terdapat pangkat yang berbentuk fungsi dalam x dimana x sebagai bilangan peubah. Persamaan eksponen adalah persamaan yang eksponennya membuat variabel. Atau persamaan dimana bilangan pokok atau eksponennya membuat variabel x. Persamaan Exponen adalah persamaan yang didalamnya terdapat pangkat yang berbentuk fungsi dalam x (x sebagai peubah) atau persamaan yang bilangan pokoknya dan eksponennya memuat peubah x.

            Bentuk persamaan Eksponen:

1.      Jika a^f(x) = 1 (a>0 dan a 1), maka f(x) = 0

2.      Jika a^f(x) = a^p (a>0 dan a 1), maka f(x) = p

3.      Jika a^f(x) = a^g(x) (a>0 dan a 1), maka f(x) = g(x)

4.      Jika a^f(x) = b^f(x)  (a>0 dan a 1, b>0 dan b 1) maka f(x) = 0

5.      A(a^f(x))² + B(a^f(x)) + C = 0 ( Dengan a^f(x) = p, maka bentuk persamaan diatas dapat diubah menjadi persamaan kuadrat : Ap² + Bp + C = 0 )

Contoh Soal:

a.       3 ^5x-10 = 1

3 ^5x-10  = 3⁰

5x-10 = 0

5x      = 10

x        = 2

b.      5 ^2x-1= 625

5 ^2x-1 = 5³

2x-1 = 3

2x    = 4

x      = 2

E.  Pertidaksamaan Eksponen

Pertidaksamaan yang eksponennya mengandung peubah x, (dan tidak menutup kemungkingan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x.)

Bentuk umum

a^{f(x )}… a^g(x)

Keterangan :
a adalah bilangan pokok, a>0 dan a≠1
tanda … dapat ditulis dengan salah satu tanda pertidaksamaan : <, >, ≤, ≥.

1.      Funsi monoton turun untuk a<1

a.       a^{f(x)  ≥} a^{g(x) ⇒ f}(x)  ^≤ g(x)

b.      a^{f(x) ≤} a^{g(x) ⇒} f(x) ^≥ g(x)

2.      Fungsi monoton naik untuk a>1

a.    a^{f(x)  ≥} a^{g(x) ⇒ f}(x)  ^≥ g(x)

b.    a^{f(x) ≤} a^{g(x) ⇒} f(x) ^≤ g(x)

Contoh soal:       

a. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

   1)      10 ^4x-3 ≥ 100.000

 

             1)      10 ^4x-3  ≥ 100.000

       10 ^4x-3 ≥ 10 ⁵

                              4x -3 ≥  5

                    4x ≥ 8

                     x   ≥ 2

            2)  Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { x | x  ≥ 2 }

b. Tentukan himpunan penyelesaian 2^{x + 2} > 16 ^{x 2}.

Jawab:

2^{x + 2} > 16 ^{x  2}

2^{x + 2} > 2^{4 ( x  2}.⁾

X + 2 > 4 ( x – 2)

X + 2 > 4x – 8

3x < 10

X < 10/3    

F.   Fungsi Eksponen

Fungsi eksponensial f dengan basis a dinotasikan dengan

f(x)=a^x

di mana a > 0, a ≠ 1, dan x merupakan sebarang bilangan real.

Kita menganggap bahwa a ≠ 1 karena fungsi f(x) = 1^x = 1 merupakan fungsi konstan. Berikut ini beberapa contoh fungsi eksponensial:

Grafik Eksponen

	x
	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
f(x) = 2x
f(x) = 2-x
f(x) = 3x
f(x) = 3-x

G. Materi yang Relevan dengan Eksponen

1.      Notasi Ilmiah

Notasi ilmiah adalah suatu bentuk yang digunakan untuk menuliskan bilangan desimal dalam bentuk eksponen. Seperti: a  10ⁿ

Dengan:

1 ≤ a ≤ 10n adalah bilangan bulat 10¹ = 10 dan 10^-1 =

Contoh Soal:

a.       6 = 6 . 10⁰

b.      10.000.000 = 10⁷

c.       0,000000007 = 7. 10^-9

d.      0,000089 = 8,9 . 10^-5

H.  Soal-soal Materi Eksponen

1.      Sederhanakan bentuk pangkat berikut 

a. (4a)^–2 × (2a)³

b. (2a²)³ : 4a³

c. p⁵ × p¹⁰ × p⁴

d. n² × n⁵ × n⁷

2.      Sederhanakan bentuk pangkat berikut.

a. m⁵ × m⁷

b. 2a⁵ × 5a² × 3a

c.  a⁴ × 5a³ × 2a

d. (5³x⁵y) × (5²y⁴)

e. ( p³q²r )×(  p⁴qr⁶)

3. Sederhanakan bentuk pangkat berikut.

a. 5¹⁰ : 5⁸

b.

c.

d.

e.

4. Sederhanakan bentuk pangkat berikut.

a. (2p)³

b. (3m²n⁵)³

c. 

d.

5. Tentukan nilai dari pemangkatan bilangan-bilangan berikut.

a. 6⁰

b. (2a)⁰

6. Nyatakan bilangan-bilangan berpangkat di bawah ini ke dalam pangkat

negatif.

a. a⁴

b. x³ y²

c.

7.    Nyatakan bilangan-bilangan berpangkat dibawah ini kedalam pangkat positif

a.       p⁻⁵

b.      3^–3pq^–2

c.      

8.    Sederhanakan bentuk pangkat berikut

a.    2⁵ × 2⁹ × 2¹²

b. 2⁵ × 3⁶ × 4⁶

c. 2x³ × 7x⁴ × (3x)²

9.    Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut

a.       2^x = 8

b.      4^x = 0,125

10.     Nyatakan dengan notasi ilmiah

a.       0,00000056

b.      0,00034000000

c.       370.000.000

d.      8.900.000.000

JAWAB!!!

1.      a. (4a)^–2 × (2a)³

    ⁼  × 8a³

    ⁼

    ⁼

b.      (2a²)³ : 4a³

=

= 2a3

c.       p⁵ × p¹⁰ × p⁴

= p⁵⁺¹⁰⁺⁴

= p ¹⁹

d.   n² × n⁵ × n⁷

      = n²⁺⁵⁺⁷

      = n¹⁴

2.    a. m⁵ × m⁷

     = m⁵⁺⁷

   = m¹²

b.    2a⁵ × 5a² × 3a

= 30a⁵⁺²⁺¹

= 30a⁸

c.     a⁴ × 5a³ × 2a

= 5a⁸

d.   (5³x⁵y) × (5²y⁴)

= 5⁵ x⁵y⁵

= 125 x⁵y⁵

e.    ( p³q²r )×(  p⁴qr⁶)

= p⁷q³r⁷

3.      a.  5¹⁰ : 5⁸

    = 5²

   = 25

b.     

= a²b^-3

c.

     =

 d.

     = 9x²y³z

e.

    =

                    =

4. a. (2p)³

       = 8p³

b. (3m²n⁵)³

    = 27m⁶n¹⁵

c. 

   =

=. 

=

d.

    =

5.       a.    6⁰ = 1

b.         (2a)⁰  = 1

6.      a. a⁴

b. x³ y²

c.

7.        a. p⁻⁵

b.    3^–3pq^–2

c.   

8.        a. 2⁵ × 2⁹ × 2¹²

= 2²⁶

b. 2⁵ × 3⁶ × 4⁶

        = 2¹⁷×3⁶

c. 2x³ × 7x⁴ × (3x)²

= 126x⁹

9.        a.    2^x = 8

2^x = 2³

x = 3

b.         5^x = 625

5^x = 5⁴

x = 4

10.    a. 0,00000056

= 5.6 × 10^-7

b.         0,00034000000

= 3,4 × 10^-4

c.          370.000.000

= 3,7 × 10⁸

d.         8.900.000.000

=8,9 × 10⁹

Kampung Inggris Pare (Pengalaman Hari Pertama)

06 Juli 2017

Yeeeeeeeeeyyyyy!!!

 Akhirnya hari yang ditunggu-tunggu datang juga. J

Kami berangkat dari Tasikmalaya pada pukul 21.30 WIB kalau gak salah sih waktu itu adalah malam Jumat *ihmalemjumatserem yaelah engga lah. Kami melaju menggunakan kereta api Kahuripan selama 10 jam setengah. Rasa pegal menyerang tubuh karena kita duduk di tempat duduk yang lumayan sempit, lutut kita pun saling bersentuhan dengan lutut penumpang lain di depan kita dan kursi yang kita duduki pun kurang empuk. Yaelah yaiya fasilitasnya gitu orang kita bayarnya juga kereta api ekonomi, kan ada uang ada fasilitas. Wkwk

(saat menunggu kereta datang di stasiun Tasikmalaya, dari kiri aku, neng ayu, dan ninis)

Perjalanan Tasikmalaya-Kediri tidak terasa lama karena selama di perjalanan aku tidur dan sesekali berbincang dengan teman seperjalanan dan 3 orang yang duduk di depan kita. Aku tanya-tanya mau kemana mereka yang keliatannya masih muda kok naik kereta tanpa orang tuanya? (Kok serasa lebih tua wkwkwk) ternyata mereka adalah para pejuang ridha kiai eh maksudnya mereka adalah santri yang mau mondok di pesantren Lirboyo yang ada di Kabupaten Kediri, yah turunya sama dong jadi kakinya gak bisa selonjoran.wkwk mereka berasal dari Majalaya Bandung. Teringat waktu dulu masih mondok di pesantren Sukahideng ternyata perjuangan aku mesantren tak ada apa-apanya dengan perjuangan mereka yang belajar ngaji di tempat yang sangat jauh dari rumahnya. Huhuhuhu terharu semangat yak kalian adek-adek mondoknya mudah-mudahan jadi santri yang manfaat.

Oh iya before that aku di anterin sama keluarga besarku ke stasiun dan aku lihat barang bawaanku kayak orang yang mau pindahan selamanya, yaiyalah orang bawaanyan satu koper sedang, tas ransel lumayan besar penuh, tas ransel agak kecil penuh dengan makanan.. wkwk. Keluargaku hanya bisa nganterin sampe pintu masuk ke stasiunnya, kami bertiga (aku, Ninis, Neng Ayu) masuk setelah boarding pass dan di cek oleh petugas stasiun. Kami pun menunggu kedatangan kereta api untuk beberapa saat. Saat kereta api datang kami dengan rempongnya masuk ke gerbong 5 dan jrenjengjeng semua tempat menyimpan barang PENUH ya Allah ini gimana nasib barang bawaan kita? Dan akhirnya ada salah satu penumpang yang menyarankan untuk menyimpan koper dan teman-temannya di bawah tempat duduk. Alhamdulillah masalah pun teratasi.

Pukul 07.15 WIB kita tiba di stasiun Kediri sebenarnya keretanya agak telat 10 menitan tapi yah gapapa lah. Oh iya kita kan melewatkan waktu subuh di dalam kereta dan kita pun shalatnya di kereta jangan lupa ya temen-temen juga kalau di perjalanan harus tetap shalat walaupun keadaannya tidak memungkinkan untuk shalat seperti biasanya karena agama islam itu sangat mempermudah dalam beribadah para umatnya J. Sesampainya di stasiun kita keluar mencari mesjid untuk beristirahat sejenak dan makan bekal yang kami bawa. Kira-kira jam 08.00 WIB kita jalan kaki ke depan Hypermart untuk naik angkot, kita kira jaraknya dekat eh ternyata 10-25 menit jalan kaki. Sebenernya bisa pakai ojek atau becak tapi yah mending ajah jalan kaki kan lumayan save my money. Wkwk (irit dan pelit itu beda tipis).

Kira-kira satu jam kita di dalam angkot menuju pare dan sekitar pukul 09.20 WIB kita diturunkan di depan kosan G*H 2 dengan membayar ongkos Rp. 20.000 per orang. Setelah sebelumnya kita menghubungi pemilik kosan bahwa kita datang hari itu mba S*lvi pun telah stand by di kosan, setelah kami melunasi biaya kos satu bulan beliau meberikan kunci kamar kos dan menjelaskan beberapa aturan di kos G*H.

(tampak depan kamar kos kita, itu yang jendelanya 2 kamar kita)

       Setelah istirahat sejenak kita langsung beres-beres kamar dan merapihkan barang bawaan kedalam lemari yang disediakan. Setelah beres-beres kami membersihkan badan terlebih dahulu sebelum lanjut jalan-jalan sebentar melihat keadaan kampung inggris. Aku, Ninis, dan Neng Ayu pergi mencari lembaga kursus yang telah dipesan jauh-jauh hari, namun saat itu Neng Ayu belum daftar di lembaga manapun setelah melihat-lihat sekitar akhirnya memutuskan untuk mengambil les di lembaga kursus the Eag*e. Setelah proses pendaftaran dilakukan kita menyusuri jl. Anyelir untuk mencari tempat ngeprint karena Ninis belum print kwitansi online buat daftar ulang. Kita kesana jalan kaki loh hal yang tak biasa dilakukan saat masih di daerah asal dan ternyata jaraknya lumayan jauh dari tempat kosan kita, walaupun masih satu jalan tapi yah ujung banget tempat print nya. Kenepa kita jalan padahal kan ada sewa sepeda? Karena sepeda yang kita sewa belum dianterin sama pemilik kosnya.

Ternyata ada gangguan gitu saat konek ke internetnya jadi lama banget kita nunggunya dan setelah lama menunggu kwitansi pun tetap tidak bisa dicetak (kan ngeselin L). Tapi saat menunggu di tempat printnya ada tukang pentol pink yang nangkring di depan lembaga kursus BEC (tempat printnya depan BEC). Itu kali pertamanya kita beli jajanan paling penomenal di kampung inggris, sebenernya gak ada yang spesial dengan pentol kalo di daerah asalku Tasikmalaya dinamakan baso tusuk, pentol itu adalah irisan antara baso dan cilok. Terus kita beli minuman teh gitu harganya tau gak murah banget cuam Rp. 1.500 per cupnya. Di Tasik mana ada minuman murah kek gitu.

(Jajanan pertama disana pentol dan milktea)

            Akhirnya kita beristitahat sejenan di kamar kos dan ya Allah jalan segitu aja kok cape yah, keliatan banget deh jarang olahraganya.wkwk :D setelah shalat asar kitapun keluar lagi untuk menikmati waktu senja di kampung inggris, kita menemukan warnet di jl. Brawijaya (jalan utama di kampung inggris) akhirnya ninis ngeprit disana dan lancar, aman, terkendali karena jaringan internetnya gak ada masalah. Setelah selesai print kita langsung cusss mencari lokasi lembaga ELF*ST, setelah berbekal menanyai tukang warnet dimana lokasinya akhirnya ketemu. Yeyeye pas liat bangunannya WOOOOOWWW kayak sekolah-sekolah pada umumnya gak kayak lembaga les biasa dan terdiri dari 3 lantai dan lantai ke-4nya ada satu kelas dan masih ada satu kelas di atasnya.hehe

            Kesan pertama ngeliat bangunannya mudah-mudahan bisa betah dan nyaman belajar disana. Kita masuk ke depan kantor atau bisa dibilang resepsionisnya dan melihat pengumuman-pengumuman yang ada dan langsung memotretnya jika ada hal penting. Setelah selesai melihat-lihat kita pulang kembali ke kamar kos dan membeli air saat perjalanan pulang.

            Pengalaman hari pertama telah selesai karena dihentikan oleh waktu malam, wkwkwk kita langsung istirahat karena merasa sangat kelelahan seteha perjalanan panjang kemarin dan tenaga terus di porsir untuk jalan-jalan. Hasrat traveling kita sangat memuncak tapi tenaganya gak ada. Wkwkw

            Oh iya sebelum pulang ke kosan kita mampir ke warung untuk membeli nasi pustih (nasinya ajah) karena kita masih punya lauk pauk bekal dari rumah (baca penghematan). Waktu itu kita cuma beli nasi 2 bungkus untuk bertiga karena satu bungkusnya itu gede banget, nasi polos perbungkusnya itu Rp. 3000.

            Tunggu pengalaman selanjutnya yah!

Persiapan Belajar di Pare Kampung Inggris Part 3

Hy Good People!!!

H-26 hari buat berangkat ke Kampung Inggris, Pare, Kediri.

Postingan sebelumnya menjelasakan saya sama temen2 saya udah dapet kosan di Pare kan, nah sekarang aku udah dapet tempat les dan sudah terdaftar menjadi murid di lembaga Elf*ast periode 10 Juli 2017. #yeyelalala

Sebelumnya memang kebinggungan mau les dimana yah? wah mahal nih di sana, tapi bagus programnya. wah ada yang murah, yah programnya dikit.

itulah beberapa kegalauan yang saya alami dalam mencari tempat les dan cocok. setelah tanya sana sisni, survei di media internet, diskusi dengan penyokong uang (orang tua) saya menjatuhkan pilihan di Elf*st. Alasan saya memilih Elf*st karena program yang saya perlukan adalah mendalami grammer untuk bekal TOEFL atau IELTS dan kebetulan Elf*st adalah spesialisnya grammer. Program yang saya ambil di Elf*st adalah paket Efast 1 yang memiliki program kelasnya basic grammer 1 dan 2 ditambah bonus kelas speking for you. paket Efast ini merupakan paket intensive, paket ini ditujukan untuk orang yang ingin menguasai materi grammer dengan waktu sebentar.

kenapa Efast 1 dikatakan intensive? alasannya karena seharusnya atau normalnya basic 1 & 2 dproses pembelajarannya selama 2 bulan. tapi di paket Efast 1 ini dipersingkat waktunya dan dipadatkan jadwalnya. untuk lebih jelasnya bisa di lihat di brosurnya.

Biaya yang saya keluarkan untuk belajar paket Efast 1 itu sebesar Rp. 455.000.

Sekedar informasi, saya daftar online tidak melalui perantara tapi langsung daftar di website resmi Elf*st. yaitu di Elfast-pare.com. kenapa? karena lebih murah tidak ada tambahan biaya apapun. cuma bayar biaya lesnya sajah.

ini bukti saya sudah terdaftar di lembaga kursus Elf*st mengambil paket Efast 1 tanpa camp

Saya juga telah memiliki tiket kereapi yang berangkat pada tanggal 6 Juli 2017 dari kotaku (Kota Tasikmalaya) pukul 21.00 WIB dan nyampe sana tanggal 7 Juli 2017 pukul 07.15 WIB

Setelah tiket kereta di tangan, bukti pembayaran tempat les sudah ada untuk memastikan saja saya kontak lagi admin kosan yang akan saya tempati.

Saya         : mba, saya kan pesen kosannya untuk tanggal 9 Juli, nah saya jadinya kesana tanggal 6 Juli dan nyampe sana tanggal 7 Juli, berarti nanti saya keluar atau habis masa sewa tanggal 7 Agustus padahal pembelajaran kan nyampe tanggal 9 Agustus. gimana yah mba? 

Mba S*lvi   : Oh gapapa mba, nanti yang tanggal 8 sama 9 nya masuk ke biaya harian mba.

Saya        : oh iya syukur atuh kalau bisa gituh mba. oh iya mba kan saya di G*H 2, nah saya kebagian kamar mana yah mba? terus WC nya si G*H 2 ada berapa yah?

Mba S*lvi   : Mba kebagian di G*H 2 dalam kamar no 1. ada 6 mba

Saya            : emang bedanya apa mba antara kamar dalam sama kamar luar?

Mba S*lvi  : luas kamarnya mba, hanya 1 kamar itu yang paling luas, sebetulnya kamar itu adalah kamar pribadi mba, tapi untuk sementara saya sewakan semua jadi ukuran kamarnya lebih  besar dari pada ukuran kamar anak-anak lain. ukurannya 5x5 meter mba.

Saya            : oh gitu to mba, maksih ya mba dan maaf ganggu malem-malem

Mba S*lvi   : iyah sama-sama mba, gapapa mba. 

itulah percakan saya dengan anak pemilik atau admin kosan yang akan saya tempati. Alhamdulillah sekali dapet perlakuan baik dari G*H. gak nyesel deh pilih kosannya, mudah-mudahan betah di sana. amiiin

see you next time 

Pare i'm coming.....