Mata Kuliah Dasar-dasar Matematika Materi Eksponen

EKSPONEN

A.  Pengertian Eksponen (Pangkat)

Eksponen adalah bilangan berpangkat, ada juga yang menyebut eksponen adalah perkalian berulang. Menurut wikipedia eksponen adalah sebuah operasi matematika yang melibatkan dua bilangan, basis atau bilangan pokok b dan eksponen atau pangkat n, ditulis bⁿ.

Pendapat lain menyatakan bahwa eksponen adalah perkalian dengan bilangan yang sama yang diulang-ulang. Eksponen sering kita kenal dengan sebutan pangkat, definisi lainnya adalah nilai yang menunjukkan derajat kepangkatan (bilangan dikalikan dengan bilangan itu juga)

B.  Macan-macam Eksponen (Pangkat)

1.    Pangkat Bilangan Bulat Positif

Pengertian pangkat bulat positif yaitu jika a adalah bilangan riil dan n bilangan bulat positif maka an (dibaca "a pangkat n") adalah hasil kali n buah faktor yang masing-masing faktornya adalah a. Jadi, pangkat bulat positif secara umum dinyatakan dalam bentuk

aⁿ =  a  a  a  ... a

dengan:

 a       = bilangan pokok (basis);

 n       = pangkat atau eksponen;

 aⁿ      = bilangan berpangkat.

2.    Pangkat Bilangan Bulat Negatif

Untuk a ∈ R dan a ≠ 0 didefinisikan:

a^-n=1/aⁿ

Definisi ini berasal dari bentuk berikut:

a^m : a^m+n  = a^m-(m+n) = a^-n

a^m : a^m+n  = a^m/ a^m+n  = 1/aⁿ

maka, a-ⁿ = 1/aⁿ

3.  Pangkat Nol

Untuk a ∈ R dan a ≠ 0 maka

a⁰=1

Bukti:

a⁰ = a^n-n

=

= 1

4.    Pangkat tak sebenarnya

Bilangan berpangkat dengan pangkat nol, bulat negatif, dan pecahan disebut juga sebagai bilangan berpangkat tak sebenarnya. Adapun bilangan berpangkat dengan pangkat bulat positif disebut juga bilangan berpangkat sebenarnya. Untuk sebarang nilai a dengan a ≠ 0, m bilangan bulat, n bilangan asli, dan n ≥ 2 berlaku:

 dan  disebut pangkat tak sebenarnya

C.  Sifat-sifat Eksponen

1.      Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat

am an = am+n

Untuk a ∈ R dan m, n bilangan bulat positif, berlaku

Bukti:

a^m . aⁿ = a.a.a.a. ... .a.a.a.a

= a^m+n

2.      Sifat Pangkat dari Bilangan Berpangkat

Untuk a, b ∈ R dan n bilangan bulat positif, berlaku:

(am)n = amn

 

(a^m)ⁿ = a^m . a^m . a^m

= (a.a. ... .a)(a.a. ... .a)(a.a. ... .a)

= a^m.n

3.      Sifat Pangkat dari Perkalian Berpangkat

Untuk a, b ∈ R dan n bilangan bulat positif, berlaku:

(ab)n = anbn

 

Bukti:

(ab)ⁿ = ab.ab.ab. ... .ab

= (a.a.a. ... .a)(b.b.b. ... .b)

= aⁿbⁿ

4. Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat

Untuk a ∈ R, a ≠ 0 dan m, n bilangan bulat positif yang memenuhi m > nⁿ

= am-n

 

            Bukti:

             =

= a.a

= a^m-n

5.    Sifat pangkat dari pembagian bilangan

Untuk a, b ∈ R, b ≠ 0 dan n bilangan bulat positif, berlaku:

( )n =

 

( ) ⁿ = . . . ... .

=

=

6.    Sifat eksponen pangkat 1

a1=a

 

7.    Sifat eksponen pangkat 0

Untuk a ∈ R, a ≠ 0

a0=1

 

Bukti:

a⁰ = a^n-n

=

= 1

8.    Sifat eksponen pangkat negatif

a-n =

 

Bukti:

a^m : a^m+n  = a^m-(m+n) = a^-n

a^m : a^m+n  = =

maka, a-ⁿ =

9.    Pangkat tak sebenarnya

 

D.  Persamaan Eksponen

Persamaan Eksponen dapat diartikan sebagai persamaan yang didalamnya terdapat pangkat yang berbentuk fungsi dalam x dimana x sebagai bilangan peubah. Persamaan eksponen adalah persamaan yang eksponennya membuat variabel. Atau persamaan dimana bilangan pokok atau eksponennya membuat variabel x. Persamaan Exponen adalah persamaan yang didalamnya terdapat pangkat yang berbentuk fungsi dalam x (x sebagai peubah) atau persamaan yang bilangan pokoknya dan eksponennya memuat peubah x.

            Bentuk persamaan Eksponen:

1.      Jika a^f(x) = 1 (a>0 dan a 1), maka f(x) = 0

2.      Jika a^f(x) = a^p (a>0 dan a 1), maka f(x) = p

3.      Jika a^f(x) = a^g(x) (a>0 dan a 1), maka f(x) = g(x)

4.      Jika a^f(x) = b^f(x)  (a>0 dan a 1, b>0 dan b 1) maka f(x) = 0

5.      A(a^f(x))² + B(a^f(x)) + C = 0 ( Dengan a^f(x) = p, maka bentuk persamaan diatas dapat diubah menjadi persamaan kuadrat : Ap² + Bp + C = 0 )

Contoh Soal:

a.       3 ^5x-10 = 1

3 ^5x-10  = 3⁰

5x-10 = 0

5x      = 10

x        = 2

b.      5 ^2x-1= 625

5 ^2x-1 = 5³

2x-1 = 3

2x    = 4

x      = 2

E.  Pertidaksamaan Eksponen

Pertidaksamaan yang eksponennya mengandung peubah x, (dan tidak menutup kemungkingan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x.)

Bentuk umum

a^{f(x )}… a^g(x)

Keterangan :
a adalah bilangan pokok, a>0 dan a≠1
tanda … dapat ditulis dengan salah satu tanda pertidaksamaan : <, >, ≤, ≥.

1.      Funsi monoton turun untuk a<1

a.       a^{f(x)  ≥} a^{g(x) ⇒ f}(x)  ^≤ g(x)

b.      a^{f(x) ≤} a^{g(x) ⇒} f(x) ^≥ g(x)

2.      Fungsi monoton naik untuk a>1

a.    a^{f(x)  ≥} a^{g(x) ⇒ f}(x)  ^≥ g(x)

b.    a^{f(x) ≤} a^{g(x) ⇒} f(x) ^≤ g(x)

Contoh soal:       

a. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

   1)      10 ^4x-3 ≥ 100.000

 

             1)      10 ^4x-3  ≥ 100.000

       10 ^4x-3 ≥ 10 ⁵

                              4x -3 ≥  5

                    4x ≥ 8

                     x   ≥ 2

            2)  Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { x | x  ≥ 2 }

b. Tentukan himpunan penyelesaian 2^{x + 2} > 16 ^{x 2}.

Jawab:

2^{x + 2} > 16 ^{x  2}

2^{x + 2} > 2^{4 ( x  2}.⁾

X + 2 > 4 ( x – 2)

X + 2 > 4x – 8

3x < 10

X < 10/3    

F.   Fungsi Eksponen

Fungsi eksponensial f dengan basis a dinotasikan dengan

f(x)=a^x

di mana a > 0, a ≠ 1, dan x merupakan sebarang bilangan real.

Kita menganggap bahwa a ≠ 1 karena fungsi f(x) = 1^x = 1 merupakan fungsi konstan. Berikut ini beberapa contoh fungsi eksponensial:

Grafik Eksponen

	x
	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
f(x) = 2x
f(x) = 2-x
f(x) = 3x
f(x) = 3-x

G. Materi yang Relevan dengan Eksponen

1.      Notasi Ilmiah

Notasi ilmiah adalah suatu bentuk yang digunakan untuk menuliskan bilangan desimal dalam bentuk eksponen. Seperti: a  10ⁿ

Dengan:

1 ≤ a ≤ 10n adalah bilangan bulat 10¹ = 10 dan 10^-1 =

Contoh Soal:

a.       6 = 6 . 10⁰

b.      10.000.000 = 10⁷

c.       0,000000007 = 7. 10^-9

d.      0,000089 = 8,9 . 10^-5

H.  Soal-soal Materi Eksponen

1.      Sederhanakan bentuk pangkat berikut 

a. (4a)^–2 × (2a)³

b. (2a²)³ : 4a³

c. p⁵ × p¹⁰ × p⁴

d. n² × n⁵ × n⁷

2.      Sederhanakan bentuk pangkat berikut.

a. m⁵ × m⁷

b. 2a⁵ × 5a² × 3a

c.  a⁴ × 5a³ × 2a

d. (5³x⁵y) × (5²y⁴)

e. ( p³q²r )×(  p⁴qr⁶)

3. Sederhanakan bentuk pangkat berikut.

a. 5¹⁰ : 5⁸

b.

c.

d.

e.

4. Sederhanakan bentuk pangkat berikut.

a. (2p)³

b. (3m²n⁵)³

c. 

d.

5. Tentukan nilai dari pemangkatan bilangan-bilangan berikut.

a. 6⁰

b. (2a)⁰

6. Nyatakan bilangan-bilangan berpangkat di bawah ini ke dalam pangkat

negatif.

a. a⁴

b. x³ y²

c.

7.    Nyatakan bilangan-bilangan berpangkat dibawah ini kedalam pangkat positif

a.       p⁻⁵

b.      3^–3pq^–2

c.      

8.    Sederhanakan bentuk pangkat berikut

a.    2⁵ × 2⁹ × 2¹²

b. 2⁵ × 3⁶ × 4⁶

c. 2x³ × 7x⁴ × (3x)²

9.    Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut

a.       2^x = 8

b.      4^x = 0,125

10.     Nyatakan dengan notasi ilmiah

a.       0,00000056

b.      0,00034000000

c.       370.000.000

d.      8.900.000.000

JAWAB!!!

1.      a. (4a)^–2 × (2a)³

    ⁼  × 8a³

    ⁼

    ⁼

b.      (2a²)³ : 4a³

=

= 2a3

c.       p⁵ × p¹⁰ × p⁴

= p⁵⁺¹⁰⁺⁴

= p ¹⁹

d.   n² × n⁵ × n⁷

      = n²⁺⁵⁺⁷

      = n¹⁴

2.    a. m⁵ × m⁷

     = m⁵⁺⁷

   = m¹²

b.    2a⁵ × 5a² × 3a

= 30a⁵⁺²⁺¹

= 30a⁸

c.     a⁴ × 5a³ × 2a

= 5a⁸

d.   (5³x⁵y) × (5²y⁴)

= 5⁵ x⁵y⁵

= 125 x⁵y⁵

e.    ( p³q²r )×(  p⁴qr⁶)

= p⁷q³r⁷

3.      a.  5¹⁰ : 5⁸

    = 5²

   = 25

b.     

= a²b^-3

c.

     =

 d.

     = 9x²y³z

e.

    =

                    =

4. a. (2p)³

       = 8p³

b. (3m²n⁵)³

    = 27m⁶n¹⁵

c. 

   =

=. 

=

d.

    =

5.       a.    6⁰ = 1

b.         (2a)⁰  = 1

6.      a. a⁴

b. x³ y²

c.

7.        a. p⁻⁵

b.    3^–3pq^–2

c.   

8.        a. 2⁵ × 2⁹ × 2¹²

= 2²⁶

b. 2⁵ × 3⁶ × 4⁶

        = 2¹⁷×3⁶

c. 2x³ × 7x⁴ × (3x)²

= 126x⁹

9.        a.    2^x = 8

2^x = 2³

x = 3

b.         5^x = 625

5^x = 5⁴

x = 4

10.    a. 0,00000056

= 5.6 × 10^-7

b.         0,00034000000

= 3,4 × 10^-4

c.          370.000.000

= 3,7 × 10⁸

d.         8.900.000.000

=8,9 × 10⁹